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By Anton Deitmar (auth.)

ISBN-10: 3662533510

ISBN-13: 9783662533512

ISBN-10: 3662533529

ISBN-13: 9783662533529

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1. Eine Folge mit Werten in R ist eine Abbildung a : N → R. Man schreibt an statt a(n) und nennt die a1 , a2 , . . die Folgenglieder. Die Folge kann auch als (an )n∈N oder aufz¨ahlend (a1 , a2 , a3 , . . ) geschrieben werden. 2. • Die konstante Folge (a, a, a, . . ) mit an = a ∈ R. • Die Folge 1 n n∈N . Die ersten Glieder sind 1, 12 , 13 , 14 , . . • Die Folge an = (−1)n , die abwechselnd die Werte 1 und −1 annimmt. • Die Folge n n+1 n∈N oder ( 12 , 23 , 34 , 45 , . . ). • Gelegentlich wird eine Folge auch mal an einer anderen Stelle als n = 1 n .

E) Seien nun A1 , A2 , . . abz¨ahlbare Mengen, etwa An = {an1 , . . }. Sei A = µ 1 n∈N An . Sei Bn = {aν ∈ A : ν + µ = n} Dann ist B1 = ∅, B2 = {a1 }, B3 = 1 2 {a2 , a1 } und so weiter. Jedenfalls ist jedes Bn endlich und es ist A = n∈N Bn eine abz¨ahlbare Vereinigung endlicher Mengen. Damit ist A nach Teil (d) abz¨ahlbar. 4. Die Menge der rationalen Zahlen Q ist abz¨ahlbar. Beweis. Die Menge N der naturlichen Zahlen ist trivialerweise abz¨ahlbar. ¨ Die Menge Z = N ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N} ist abz¨ahlbar nach dem Lemma.

Beweis. (a) Sei (an ) eine Cauchy-Folge. Sei ε > 0 und sei n0 so dass |an −am | < ε ist fur ¨ jedes n ≥ n0 , ¨ alle m, n ≥ n0 . Dann ist insbesondere |an − an0 | < ε fur also gilt fur ¨ solche n, dass |an | ≤ |an0 | + ε ist. Sei S = max(|a1 |, . . , |an0 |, |an0 | + ε), dann folgt |an | ≤ S fur ¨ jedes n ∈ N, die Folge ist also beschr¨ankt. (b) Sei an → a konvergent und sei ε > 0. Dann existiert ein n0 so dass fur ¨ jedes n ≥ n0 die Ungleichung |an − a| < ε/2 gilt. Fur ¨ m, n ≥ n0 ist dann |am − an | = |an − a + a − am | ≤ |an − a| + |am − a| < ε ε + = ε.

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Analysis by Anton Deitmar (auth.)


by George
4.0

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